Teorema de Bayes

Entenda como Bayes

Entenda como o teorema de Bayes pode fazer suposições matemáticas fundamentadas quando não há muito a fazer. Use o teorema de Bayes para fazer suposições matemáticas fundamentadas quando há pouco a fazer. World Science Festival (um parceiro editorial da Britannica) Veja todos os vídeos para este artigo

Teorema de Bayes , na teoria da probabilidade, um meio de revisar as previsões à luz de evidências relevantes, também conhecido como probabilidade condicional ou probabilidade inversa. O teorema foi descoberto entre os papéis do ministro e matemático presbiteriano inglês Thomas Bayes e publicado postumamente em 1763. Relacionado ao teorema está a inferência bayesiana, ou bayesianismo, baseada na atribuição de alguma distribuição a priori de um parâmetro sob investigação. Em 1854, o lógico inglês George Boole criticou o caráter subjetivo de tais atribuições, e o bayesianismo declinou em favor de intervalos de confiança e testes de hipótese - agora métodos básicos de pesquisa.



Se, em um determinado estágio de uma investigação, um cientista atribui uma distribuição de probabilidade ao hipótese H, Pr (H) - chame isso de probabilidade anterior de H - e atribui probabilidades aos relatórios evidenciais E condicionalmente à verdade de H, PrH(E), e condicionalmente à falsidade de H, Pr−H(E), o teorema de Bayes dá um valor para a probabilidade da hipótese H condicionalmente à evidência E pela fórmulaPrÉ(H) = Pr (H) PrH(E) / [Pr (H) PrH(E) + Pr (−H) Pr−H(É)].



Como uma aplicação simples do teorema de Bayes, considere os resultados de um teste de triagem para infecção com o vírus da imunodeficiência humana (HIV; Vejo AUXILIA ). Suponha que um usuário de drogas intravenosas seja submetido a um teste onde a experiência indicou 25 por cento de chance de que a pessoa tenha HIV; assim, a probabilidade anterior Pr (H) é 0,25, onde H é a hipótese de que a pessoa tem HIV. Um teste rápido para HIV pode ser realizado, mas não é infalível: quase todos os indivíduos que foram infectados por tempo suficiente para produzir uma resposta do sistema imunológico podem ser detectados, mas infecções muito recentes podem passar despercebidas. Além disso, resultados de teste falsos positivos (ou seja, falsas indicações de infecção) ocorrem em 0,4 por cento das pessoas que não estão infectadas; portanto, a probabilidade Pr−H(E) é 0,004, onde E é um resultado positivo no teste. Nesse caso, um resultado de teste positivo não prova que a pessoa está infectada. No entanto, a infecção parece mais provável para aqueles com teste positivo, e o teorema de Bayes fornece uma fórmula para avaliar a probabilidade.

Suponha que existam 10.000 usuários de drogas intravenosas na população, todos os quais são testados para HIV e dos quais 2.500, ou 10.000 multiplicados pela probabilidade anterior de 0,25, estão infectados com o HIV. Se a probabilidade de receber um resultado de teste positivo quando se realmente tem HIV, PrH(E), é 0,95, então 2.375 das 2.500 pessoas infectadas pelo HIV, ou 0,95 vezes 2.500, receberão o resultado do teste positivo. Os outros 5% são conhecidos como falsos negativos. Uma vez que a probabilidade de receber um resultado de teste positivo quando um não está infectado, Pr−H(E), é 0,004, das 7.500 pessoas restantes que não estão infectadas, 30 pessoas, ou 7.500 vezes 0,004, terão teste positivo (falsos positivos). Colocando isso no teorema de Bayes, a probabilidade de que uma pessoa com teste positivo esteja realmente infectada, PrÉ(SeuPrÉ(H) =(0,25 × 0,95)/[(0,25 × 0,95) + (0,75 × 0,004)]= 0,988.



Bayes

Teorema de Bayes usado para avaliar a precisão de um teste médico Um teste hipotético de HIV dado a 10.000 usuários de drogas intravenosas pode produzir 2.405 resultados de teste positivos, que incluiriam 2.375 verdadeiros positivos mais 30 falsos positivos. Com base nessa experiência, um médico determinaria que a probabilidade de um resultado de teste positivo revelar uma infecção real é 2.375 em 2.405 - uma taxa de precisão de 98,8%. Encyclopædia Britannica, Inc.

As aplicações do teorema de Bayes costumavam ser limitadas principalmente a esses problemas simples, embora a versão original fosse mais complexa. No entanto, existem duas dificuldades principais em estender esses tipos de cálculos. Primeiro, as probabilidades iniciais raramente são quantificadas com tanta facilidade. Freqüentemente, são altamente subjetivos. Voltando à triagem de HIV descrita acima, um paciente pode parecer um usuário de drogas intravenosas, mas pode não estar disposto a admitir isso. O julgamento subjetivo entraria então na probabilidade de que a pessoa realmente caísse nessa categoria de alto risco. Conseqüentemente, a probabilidade inicial de infecção pelo HIV dependeria, por sua vez, do julgamento subjetivo. Em segundo lugar, a evidência nem sempre é tão simples quanto um resultado de teste positivo ou negativo. Se a evidência assumir a forma de pontuação numérica, a soma usada no denominador do cálculo acima deverá ser substituída por uma integral. Evidências mais complexas podem facilmente levar a vários integrais que, até recentemente, não podia ser avaliado prontamente.

o que levou à guerra fria

No entanto, o poder de computação avançado, junto com aprimorado integração algoritmos , superou a maioria dos obstáculos de cálculo. Além disso, os teóricos desenvolveram regras para delineando probabilidades iniciais que correspondem aproximadamente às crenças de uma pessoa sensível sem nenhum conhecimento prévio. Muitas vezes, isso pode ser usado para reduzir a subjetividade indesejável. Esses avanços levaram a uma onda recente de aplicações do teorema de Bayes, mais de dois séculos desde que foi apresentado pela primeira vez. Agora é aplicado a tais diverso áreas como a produtividade avaliação para uma população de peixes e o estudo da raça discriminação .